3D计算公式精准解析，从基础到高级3d计算公式精准100%
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3D坐标系与向量运算
3D计算的基础是三维坐标系，在计算机图形学中，通常采用笛卡尔坐标系，由三个相互垂直的坐标轴（x、y、z轴）组成，每个点的位置由三个坐标值（x, y, z）唯一确定。
向量表示
在3D空间中，向量是描述点、线、面等几何元素的重要工具，一个向量可以表示为： [ \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) ] ( v_x, v_y, v_z ) 分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
向量长度（模）
向量的长度（模）表示其在空间中的大小，计算公式为： [ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} ] 这个公式在计算距离、投影等操作中被广泛应用。
点积（Dot Product）
点积是两个向量之间的重要运算，用于计算它们之间的夹角，点积的公式为： [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ] 点积的结果是一个标量，其几何意义为： [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta ] ( \theta ) 是向量a和向量b之间的夹角，点积在判断向量方向、计算投影等方面具有重要作用。
叉积（Cross Product）
叉积是两个向量之间另一个重要的运算，用于生成与原向量垂直的新向量，叉积的公式为： [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) ] 叉积的结果向量的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向由右手法则确定，叉积在计算法向量、旋转等问题中被广泛应用。
三维变换与矩阵运算
在3D空间中，变换（如平移、旋转、缩放）是描述物体运动和位置变化的核心操作,这些变换可以通过矩阵运算高效地实现。
平移变换
平移变换用于将物体从一个位置移动到另一个位置，平移矩阵的形式为： [ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] ( t_x, t_y, t_z ) 分别表示沿x、y、z轴的平移量，平移操作通过矩阵乘法实现： [ \mathbf{P}' = \mathbf{T} \cdot \mathbf{P} ] ( \mathbf{P} = (x, y, z, 1) ) 是被平移的点。
旋转变换
旋转变换用于改变物体的朝向，绕x轴、y轴、z轴的旋转矩阵分别为： [ \mathbf{R_x}(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} ] [ \mathbf{R_y}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} ] [ \mathbf{R_z}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] 旋转变换通过矩阵乘法实现： [ \mathbf{P}' = \mathbf{R} \cdot \mathbf{P} ]
缩放变换
缩放变换用于改变物体的大小，缩放矩阵的形式为： [ \mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix} ] 缩放操作通过矩阵乘法实现： [ \mathbf{P}' = \mathbf{S} \cdot \mathbf{P} ]
复合变换
在实际应用中，通常需要结合多种变换，复合变换可以通过矩阵乘法的结合律实现： [ \mathbf{M} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{S} ] ( \mathbf{T} ) 是平移矩阵，( \mathbf{R} ) 是旋转变换矩阵，( \mathbf{S} ) 是缩放矩阵，复合变换的顺序非常重要，通常遵循“先缩放，再旋转，最后平移”的原则。
投影与裁剪
在3D到2D的转换过程中，投影和裁剪是关键步骤,这些操作确保3D模型能够在二维屏幕上正确显示。
投影变换
投影变换用于将3D物体投影到二维视图中,常见的投影方式包括正交投影和透视投影。
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正交投影的投影矩阵为： [ \mathbf{P_{ortho}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\text{width}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{\text{height}} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] width和height分别表示屏幕的宽度和高度。
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透视投影的投影矩阵较为复杂，但其核心思想是将远处的物体缩小，以模拟人眼的视觉效果，透视投影矩阵的形式为： [ \mathbf{P_{perspective}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\text{width}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{\text{height}} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1 - \text{near}}{\text{far} - \text{near}} & \frac{\text{near}}{\text{far} - \text{near}} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} ] near和far分别表示投影的近 clipping 平面和远 clipping 平面。
裁剪变换
裁剪变换用于去除超出屏幕范围的物体，通常采用齐次坐标系，通过将物体的坐标映射到[0, 1]范围内,实现裁剪。
裁剪变换的矩阵形式为： [ \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\text{right}} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{\text{top}} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{\text{far}} & \frac{1}{\text{far}} \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] right、top、far分别表示屏幕的右边界、上边界和远 clipping 平面。
光照与材质
光照与材质是3D渲染中非常重要的方面,精确的计算公式能够生成逼真的视觉效果。
点光源模型
点光源模型用于模拟点光源的光线传播，点光源的光线在空间中传播的公式为： [ I = \frac{I_0}{r^2} ] ( I ) 是距离光源r处的光线强度，( I_0 ) 是光源的强度。
法线光照（Flat Shading）
法线光照用于模拟漫反射，法线光照的公式为： [ I{\text{reflected}} = I{\text{incident}} \cdot \mathbf{N} \cdot \mathbf{L} ] ( \mathbf{N} ) 是表面法向量，( \mathbf{L} ) 是入射光方向向量。
光栅化（Rasterization）
光栅化是将3D模型转换为2D像素的过程，光栅化的核心是将三维坐标映射到二维屏幕坐标,这个过程通常涉及投影变换和裁剪变换。
变态（Bump Mapping）
变态用于模拟表面的微小凹凸，变态的公式为： [ \mathbf{B} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} ] ( \mathbf{M} ) 是变形矩阵，( \mathbf{N} ) 是原始法向量。
误差与优化
在3D计算中,误差控制和优化是确保结果精准的关键。
误差控制
在计算过程中，浮点数精度和舍入误差是常见的问题，为了控制误差,可以采用以下措施：
- 使用双精度浮点数进行计算。
- 合理设计算法,避免数值不稳定的情况。
- 使用误差补偿技术,如Kahan求和算法。
优化方法
为了提高计算效率,可以采用以下优化方法：
- 利用矩阵运算的并行性,加速计算。
- 使用稀疏矩阵表示,减少存储和计算开销。
- 采用层次化方法，先计算粗略结果,再逐步细化。
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